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广东省广州市海珠区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案.doc


海珠区 2015-2016 学年第二学期期末联考试题 高一数学
本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指 定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 对于 ? ? R ,下列等式中恒成立的是( A. cos?? ? ? ? ? cos? C. ) B. sin?? ? ? ? ? sin ? D. cos 90 ? ? ? cos?
0

sin?900 ? ? ? ? s i n ?
1 的是( 2


?

?

2.下列各式中,值为 A. sin15 cos15
0
0 0

B. cos
0 0

2

?
12

? sin 2

?
12

C. cos12 sin 42 ? sin12 cos42
0

D.

2 tan 22.50 1 ? tan 2 22.50

3. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 A ? 135? , B ? 30? , a ? 2 , 则 b 等于( A. 1 ) B. 2 C.

3

D .2 )

4. 已知 a ? 2 , b ? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 A. 3 B. ?2 3

?

?

?

?

? ? 5? ,则 a 在 b 方向上的投影是( 6
C. 2 3

D. ? 3

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 S9 ? 90 ,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( A. 10 B. 20 C. 30

) D. 40 [

?y ? x ? 6.不等式组 ? x ? y ? 1 所表示的平面区域的面积为( ? y ? ?1 ?
A.



9 4

B.

3 4

C.

9 2

D.

3 2

7.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示, 此函数 的解析式为 ( )

A. y ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3
)

)

?x ?? C.y ? 2sin ? ? ? ?2 3?

?
3

8.已知 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列结论恒成立的是( A. a ? b ? 2 ab C. B. a 2 ? b2 ? 2ab D.



a b ? ?2 b a

a b ? ?2 b a


9.在 ?ABC 中,若 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? 3sin B sin C ,则角 A 的取值范围是( A. (0,

?
2

]

B. [

?
6

,? )

C. (0,

?
6

]

D. [

? ? , ) 6 2

10.若角 ? 的终边过点 (?1, 2) ,则 tan A.

? 的值为( 2
C.



1+ 5 2

B.

1? 5 2

?1+ 5 ?1 ? 5 或 2 2

D.

1+ 5 1 ? 5 或 2 2

? ?? ? 11.把函数 f ? x ? = sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 的图象上的所有点向左平移 个单位长度,得到函数 2? ? 12
y ? g ? x ? 的图象,且 g ? ? x ? ? g ? x ? ,则(


A. y ? g ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增,其图像关于直线 x ? B. y ? g ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增,其图像关于直线 x ? C. y ? g ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,其图像关于直线 x ?

? ?? ? 2?

? 对称 4 ? 对称 2 ? 对称 4

? ?? ? 2? ? ?? ? 2?

? ? ?? 对称 2 ? 2? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 12.在 ?ABC 中, AB ? AC ? AB ? AC , AB ? 2, AC ? 1 , E , F 为 BC 的三等分点,
D. y ? g ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,其图像关于直线 x ? 则 AE ? AF ? ( A.

??? ? ??? ?
8 9

) B.

10 9
?

C.

25 9

D.

26 9

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 已知 a ? 2, b ? 1 , a 与 b 的夹角 ? 为 60° ,且 a ? kb ? 为 . .

?

?

?

3 ,则实数 k 的值

14.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a1 = 2 , 4a2 ? a8 ? a42 ,则 a3 =
( ?? ? ) 15 . 已 知 s i n?

4 ? , 且 ? 是 第 一 象 限 的 角 , 则 cos(? ? ) 的 值 5 4



.
2 2

16.已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 2} ,则 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)

3? , OB ? ? 2, ? 1? , O 为坐标原点, P 是直线 AB 上一点. 已知向量 OA ? ? 4,
(Ⅰ)若点 P 是线段 AB 的中点,求向量 OA 与向量 OP 夹角 ? 的余弦值; (Ⅱ)若点 P 在线段 AB 的延长线上,且 AP ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 3 ??? PB ,求点 P 的坐标. 2

18.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是各项都为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 3 , S4 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 是等差数列,且 b3 ? a3 , b5 ? a5 ,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 M n .

19.(本小题满分 12 分) 一个化肥厂生产甲种混合肥料 1 车皮、乙种混合肥料 1 车皮所需要的主要原料如下表: 原料 种类 甲 乙 磷酸盐(单位:吨) 硝酸盐(单位:吨)

4 2

20 20

现库存磷酸盐 8 吨、硝酸盐 60 吨,计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料. (Ⅰ)设 x, y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数,试列出 x, y 满足的数学关系式, 并画出相应的平面区域; (Ⅱ)若生产 1 车皮甲种肥料,利润为 3 万元;生产1车皮乙种肥料,利润为 2 万元.那么 分别生产甲、乙两种肥料多少车皮,能够产生最大利润?最大利润是多少?

20.(本小题满分 12 分) 已知向量 a = ? 2sin

? ? ?

? ? x x? ? ? x ? ,cos ? , b ? ? cos ,1? ,且 f ? x ? ? a ? b . 4 2? 4 ? ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 在区间 ?? ? , ? ? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b ? a cos c ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 a ? 3 时,求 ?ABC 周长的取值范围.

3 c sin A . 3

22.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的各项均为正数,前 n 和为 S n ,且 Sn = (Ⅰ)求证:数列 ?an ?是等差数列; (Ⅱ)设 bn ? an ? 3n ,求数列 ?bn ?的前 n 项的和 Tn .

? an ? 2 ?? an ? 1?
2

? n ? N ?.
?

2015-2016 学年第二学期期末联考 高一数学试题参考答案与评分标准
说明: 1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种 解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力对照评 分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 1; 12. 1 B 2 C 3 B 4 D 5 C 6 A 7 A 8 D 9 C 10 A 11 D 12 B

1 ; 2

13. ?

2 ; 10

14. {x | x ? ?1, 或x ? ? } .

1 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程. ) 17.(本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)?点 P 是线段 AB 的中点,

? 2+4 3 ? 1 ? , ? ,即 ?3,1? , ?点 P 的坐标为 ? 2 ? ? 2 ??? ? 则 OP = ? 3,1? . ??? ? ??? ? OA ? OP ? ??? ? ? cos ? ? ??? OA ? OP
? ? 4 ? 3 ? 3 ?1 42 ? 32 ? 32 ? 12 3 10 . 10

……?????1 分 ……?????2 分

……?????3 分

……?????4 分

(Ⅱ)设 P ? x, y ? ,由点 P 在线段 AB 的延长线上,且 AP ? 得 AP ?

??? ?

? 3 ??? PB , 2
……?????5 分

??? ?

? 3 ??? BP 2 3 2

? x ? 4, y ? 3? ? ? x ? 2, y ? 1? ,
即?

……?????6 分

?2 x ? 8 ? 3x ? 6, ?2 y ? 6 ? 3 y ? 3, ? x ? ?2, ? y ? ?9,

……?????7 分

解得: ?

……?????9 分 ……?????10 分

?点 P 的坐标为 ? -2, ? 9? .
18. (本小题满分 12 分)

解 :( Ⅰ ) 设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,由题意分析知 q ? 1 .……?????1 分 由 S2 ? 3 , S4 ? 15 得:

? a1 ?1 ? q2 ? ? 3???????1? ? ? 1? q ? 4 ? a1 ?1 ? q ? ? 1 ? q ? 15??????? 2 ? ?
2 2

……?????3 分

(2)/(1)得 1+q ? 5 ,得 q ? 4 ,由题意 q ? 0 ,所以 q=2 . ……?????4 分 将 q=2 代入(1)式得 a1 ? 1 . 所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 . (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的公差为 d , ……?????5 分 ……?????6 分 ……?????7 分 ……?????8 分

?b3 ? a3 ? 22 ? 4, b5 ? a5 ? 24 ? 16 ,
又 ?bn ? 为等差数列,

?b5 ? b3 ? ?5 ? 3? d
即 16=4+2d ,解得 d ? 6 . 又由 b3 ? b1 ? ? 3 ? 1? d ,得 b1 ? ?8 ……?????9分 ……?????10 分 ……?????11 分 ……?????12 分

? M n ? nb1 ?
=3n2 ? 11n .

n ? n ? 1? n ? n ? 1? d ? ?8n ? ?6 2 2

19.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由题意, x, y 满足的数学关系式为:

?4 x ? 2 y ? 8, ?20 x ? 20 y ? 60, ? ? ? x ? 0, ? ? y ? 0. ? 2 x ? y ? 4, ? x ? y ? 3, ? 即? . x ? 0 , ? ? ? y ? 0.

……………………4 分

在直角坐标系中可表示成如图所示的 平面区域(阴影部分) . ……………………5 分 ( Ⅱ ) 设 生 产 甲 种 肥 料 x 车皮,乙种肥料 y 车皮.能够产生利润 z 万元.则目标函数为

z ? 3x ? 2 y ,可行域如图所示:
将 z ? 3x ? 2 y 变形为 y ? ? 由图可知当直线 y ? ? 时,截距

……………………6 分

3 1 x? z, 2 2

3 1 x ? z 经过可行域上的点 M 2 2
……………………7 分

1 z 最大. 2

解方程组 ?

?2 x ? y ? 4, ? x ? y ? 3,

……………………8 分

解的点 M 的 坐标为: x ? 1, y ? 2 . ……………………10 分

所以 zmax ? 3x ? 2 y ? 3 ?1 ? 2 ? 2 ? 7 .……………………11 分 答:生产甲种肥料 1 车皮、乙种肥料 2 车皮,能够产生最大利润,最大利润是 7 万 元. 20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ? x ? ? a ? b ? 2sin ……………………12 分

? ?

x x x cos ? cos 4 4 2

……………………1 分 ……………………2 分

=sin

x x ? cos 2 2

? 2 x 2 x? = 2? sin ? cos ? 2 2 2? ? 2

……………………3 分

x ? x ?? ? = 2 ? sin cos ? cos sin ? 4 2 4? ? 2 ?x ?? = 2 sin ? ? ? ?2 4?
∴ f ? x ? 的最小正周期 T ?

……………………4 分

……………………5 分

2? ? 4? 1 2

……………………6 分

(Ⅱ)? x ? ?? ? , ? ?,?

x ? ? ? 3? ? ? ? ? , ?, 2 4 ? ? 4 4?

…………………… 7 分



x ? ? ? ? ? ,即 x ? ?? 时, 2 4 4

…………………… 8 分

2 ? ?? f ? x ?min ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 ? ? ?1; 2 ? 4?


…………………… 9 分

x ? ? ? ? ? ,即 x ? 时, 2 4 2 2

…………………… 10 分 …………………… 11 分

f ? x ? max ? 2 sin

?
2

? 2

? 当 x ? ?? 时 , 函 数 f ?x ? 取 得 最 小 值 ?1 ; 当 x ?
2.
21. (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)由 b ? a cos C ?

?
2

时 , 函 数 f ?x ? 取 得 最 大 值 …………………… 12 分

3 c sin A 及正弦定理得, 3
……………………1 分

sin B ? sin A cos C ?

3 sin C sin A , 3

?B ? ? ? ? A ? C? ,
?sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? 3 sin C sin A , 3
……………………2 分

? sin A cos C ? cos A sin C ? sin A cos C ? ? cos A sin C ?
3 sin C sin A , 3

3 sin C sin A , ……………………3 分 3

?C ? ? 0,? ? ,? sin C ? 0 ,

……………………4 分

? cos A ?

3 sin A 3

易知 cos A ? 0 ,

? tan A ? 3 , ,

……………………5 分

? A ? ? 0,? ?
?A?

?
3

.
2 2 2

……………………6 分

(Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 9 ? b ? c ? bc
2 2

……………………7 分 , 当 且 仅 当

? b 2 ? c 2 ? 2bc

b?c



, “

=







……………………8 分

? 9 ? b2 ? c 2 ? bc ? bc ,即 bc ? 9
当且仅当 b ? c ? 3 时, “=”成立
2
2

……………………9 分

2 2 又由 9 ? b ? c ? bc ? ?b ? c? ? 3bc ,得 ? b ? c ? ? 9 ? 3bc ? 36

?b ? c ? 6

……………………10 分 ……………………11 分 ……………………12 分

? b ? c ? 3 ,? 6 ? a ? b ? c ? 9

? 求 ?ABC 周长的取值范围 ? 6,9?
22. (本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)当 n ? 2 时,

Sn =

? an ? 2 ?? an ? 1?

2 an ?1 ? 2 ?? an ?1 ? 1? ? Sn ?1 = 2

? n ? N ?.
?

……………………① ……………………②

① ? ②得: an ?

an 2 ? an ? an ?12 ? an ?1 , 2

……………………1 分 ……………………2 分

整理得: ? an ? an?1 ?? an ? an?1 ? ? ? an ? an?1 ? .

?数列 ?an ?的各项均为正数,
?an ? an?1 ? 0

?an ? an?1 ? 1? n ? 2? .
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

……………………3 分

? a1 ? 2 ?? a1 ? 1? ,得
2

a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,
……………………4 分

由 a1 ? 0 ,得 a1 ? 2 ,

?数列 ?an ? 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列.
(Ⅱ)由(1)得 an ? 2 ? ? n ? 1? ?1 ? n+1

……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分

?bn ? an ? 3n = ? n ? 1? ? 3n

Tn ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? 4 ? 33 ? L +n ? 3n?1 ? ? n ? 1? ? 3n …………(1)……………………8 分
3Tn ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? 4 ? 34 + ? ?n ? 3n ? ? n ? 1? ? 3n +1 …………(2)……………………9 分
(1) ? (2) 得 ?2Tn ? 6 ? 32 ? 33 ? L ? 3n ? ? n ? 1? ? 3n?1
……………………10 分 ……………………11 分 ……………………12 分

??2Tn ? 6+
?Tn ?

32 ? 3n ? 3 3n ?1 ? 3 ? ? n ? 1? ? 3n ?1 ? ? ? n+1? ? 3n ?1 1? 3 2

1 3 ? 2n+1? 3n?1 ? 4 4


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