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5月三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题含答案word版

2015 年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

注意事项:

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题

区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答

案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.

4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式:

样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差

锥体体积公式

s?

1 n

??( x1

?

x

)2

?

( x2

?

x

)2

?…

?

( xn

?

x

)2

??

V ? 1 Sh 3

其中 x 为样本平均数
柱体体积公式 V ? Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高
球的表面积、体积公式
S ? 4?R2 ,V ? 4 ?R3 3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
? ? 1.已知集合 A ? y y ? 2x , 0 ? x ? 1 ,集合 B ? ?1, 2,3, 4?,则 A B 等于

A.?0,1?

B. ?1, 2?

C. ?2, 3?

D.?0,1, 2?

2.已知复数 z 满足 (1? i)z ? 2i (i 为虚数单位),则 z ?

A. 1 2

B. 2 2

C. 2

D. 2

1

3.下列有关命题的说法中,正确的是
A. ?x ?R , lg x ? 0

B. ?x0 ? R ,使得 3x0 ? 0

C.“ x ? π ”是“ cos x ? 3 ”的必要不充分条件

6

2

D.“ x ?1”是“ x ?1”的充分不必要条件

4.阅读如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是

A.14

B.20

C.30

D.55

5.函数 f (x) = - x3 + 3x2 - 4 的图象在 x ?1处的切线方程为

A. x + 3y + 5 = 0

B. 3x - y - 5 = 0

C. 3x + y - 1= 0

D. x- 3y - 7 = 0

6.抛物线 y2 ? 4x ? 0 上的点 P 到直线 x ? 2 的距离等于 4,则 P 到焦点 F 的距离| PF |?

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知实数 a 满足 a ? 2 ,则事件“点 M (1,1) 与点 N (2, 0) 分别位于直线 l : ax ? 2y ?1 ? 0 两侧”的概

率为
A. 1 8

B. 3 8

C. 5 8

D. 3 4

8.已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,过直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点 P 作圆 C 的切线 PT ,

切点为T ,则| PT |的最小值为

A. 2 2

B. 3

C. 10

D. 4

9.如图是某几何体的三视图,且正视图与侧视图相同,则这

个几何体的表面积是

A. 4 π 3

B. 7π

C. (5 ? 5)π

D. (4 ? 5)π

10.函数 y ? cos 2x ? 2cos x ?1的最小值和最大值分别是

A. ? 1 ,4 2

B.0,4

C. ? 1 ,2 4

D.0,2

11.已知双曲线

?



x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,斜率为

3 的直线 l 经过双曲线 ?

的右焦点 F2 与双曲线 ? 在第一象限交于点 P ,若 ?PF1F2 是等腰三角形,则双曲线 ? 的离心率为
2

A. 3

B. 3 ?1

C. 3 ?1 2

D. 3 ?1 2

12.已知函数

f

(x)

?

??x2 ?

?1

,

?1

?

x

?

0,

设方程

? f (x ?1) ?1, x ? 0,

f

(x)

?

x

? 1 的根按从小到大的顺序得到数列

x1 , x2 ,



xn ,那么 x10 等于

A.8

B.9

C.10

D.11

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置.

13.某班共有学生 54 人,其中男生 30 人,为了调查该班学生对国学的兴趣情况,现按性别采用分层抽样

的方法抽取一个容量为 18 的样本,则样本中女生的人数为



14.已知数列{an }是公比大于 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a1 , a3 是方程 x2 ? 5x ? 4 ? 0 的两根,

则 S3 ?



15.在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别是 a , b , c ,若 C ? 60 ? , c ? 2 ,则 a ? b 的最大值





16.如图,三条平行直线 l1 , l , l2 把平面分成①、②、③、④

四个区域(不含边界),且直线 l 到 l1 , l2 的距离相等.点 O

在直线 l 上,点 A , B 在直线 l1 上,P 为平面区域内的点,

且满足 OP ? ?1OA ? ?2 OB (?1,?2 ? R) .若 P 所在的区域

为④,则 ?1 ? ?2 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)

如图,在多面体 ABCDE 中, CD 和 BE 都垂直于平面 ABC ,

D

且 ?ACB ? 90 , AB ? 4 , BE ?1, CD ? 3 , DE ? 2 2 .

(Ⅰ)求证: BE ∥平面 ACD ; (Ⅱ)求多面体 ABCDE 的体积.

E C
B

A

3

18.(本小题满分 12 分)

某市园林管理处为了了解在某片土地上培育的树苗的生长情况,在树苗种植一年后,从中随机抽取 10

株,测得它们的高度(单位:cm),并将数据用茎叶图表示(如图),已知 x ?[6,9] ,且 x ?N .

(Ⅰ) 若这 10 株树苗的平均高度为 130cm,求 x 值;

(Ⅱ)现从高度在[130,140) 和[140,150) 内的树苗中随机抽取两株,若这两 11 4 6

株树苗平均高度不高于 139cm 的概率为 1 ,求 x 的可能取值. 2

12 2 4 8 13 6 4 2

14 6 x

19.(本小题满分 12 分)

已知向量 m ? ( 3 sin x ,1 ? 3 cos x) , n ? (1? sin x,cos x ) ,函数 f (x) ? m ? n + 3 .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的零点;

(Ⅱ)若 f (? ) ? 8 ,且? ?( π , π) ,求 cos? 的值.

5

2

20.(本小题满分 12 分)

已知等差数列{an} 的前 n 和为 S n ,且 a5 ? S3 ? 9 .

(Ⅰ) 求数列{an} 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn

?

2 an an ?1

,集合 ?

? {Tn

| Tn

?

b1

?

b2

?

? bn , n ? N+} ,

(ⅰ)求 Tn ;

(ⅱ)若 Ti , Tj ? ? (i , j ?1, 2 , , n) ,求 Ti ?Tj 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 ? :

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )的离心率为

1 2

,其左、右焦点分别是 F1(?1, 0) 和 F2 (1, 0)



过点 F2 的直线交椭圆于 A , B 两点.

(Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程;

(Ⅱ)若

|AF2|=

5 2

,求三角形

AF1F2

的面积;

(Ⅲ)在椭圆 ? 上是否存在点 P ,使得点 P 同时满足:①过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆 ? 有且只

有一个公共点;②线段 PF1 的中点在直线 AB 上?若存在,求出点 P 的坐标;否则请说明理由.

4

22.(本小题满分 14 分)
设函数 f (x) ? 4 ln x ? ax2 ? bx (a,b?R) , f ?(x) 是 f (x) 的导函数,且1和 4 分别是 f (x) 的两个极值
点.
(Ⅰ)求 f (x) 的解析式;
(Ⅱ)若 f (x) 在区间 (m, m ? 3) 上是单调函数,求实数 m 的取值范围;
(Ⅲ)若对于 ?x1 ?[1, e], ?x2 ?[1, e] ,使得 f (x1) ? ?[ f ?(x2 ) ? 5] ? 0 成立,求实数 ? 的取值范围.

2015 年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学参考答案及评分标准

一、选择题:

1-6 BCDCBC 7—12 BACADB

二、填空题: 13.8

14.7

15.4

16. (??,?1)

三、解答题:

17.解:(Ⅰ)因为 CD 和 BE 都垂直平面 ABC ,所以 BE ∥ CD ,

又 CD ?平面 ACD , BE ?平面 ACD ,

所以 BE ∥平面 ACD .

…………………………(5 分)

(Ⅱ)因为 CD 和 BE 都垂直平面 ABC ,所以 BE ∥ CD ,

则四边形 BCDE 是直角梯形,

………………………………(6 分)

在平面 BCDE 内过点 E 作 EF ∥ BC ,交 CD 于点 F ,

因为 BE ?1, CD ? 3 , DE ? 2 2 ,………………(7 分)

D

在直角三角形 DEF 中, EF ? DE2 ? DF 2 ? 2 , 所以 BC ? EF ? 2 ,……………………………………(8 分) 在直角三角形 ABC 中, AC ? AB2 ? BC2 ? 2 3 ,…………(9 分)

F E
C
B

因为 AC ? BC , AC ? DC ,所以 AC ? 平面 DCBE ,

而四边形 BCDE 的面积 S ? 1 (BE ? CD) ? BC ? 4,………………(10 分) A 2

因此多面体 ABCDE 的体积为V ? 1 S ? AC ? 8 3 . …………………………………(12 分)

3

3

18.解:(Ⅰ)设高度高在[140,150) 的另一株高度为 y (其中 y ?140 ? x ),

5

由 116 ?119 ?122 ?127 ?124 ?128 ?136 ?134 ?146 ? y ? 130, 10

得 y ? 148 ,于是 x ? 8 .

……………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)由题知,从高度在[130,140) 和[140,150) 内的树苗中随机选取两株有以下 10 种选法:

(132,134),(132,136),(134,136),(132,146),(134,146),(136,146),

(132, z ),(134, z ),(136, z ),(146, z ),(其中 z ?140 ? x ) ………………(7 分)

则前六组的平均数分别为 133,134, 135,139,140,141,有 4 组平均高度不高于 139,
由于 p ? 1 ,后四组中只能有一组的平均高度不高于 139,………………………………(10 分) 2

显然是(132, z )这一组满足题意.
又由 132 ? z ?139 ,得 z ?146 ,注意到 x ?[6,9] ,于是 x ? 6.
2

…………………(12 分)

19.解:(Ⅰ) f (x) ? m ? n + 3 ? 3 sin x ? 3 sin2 x ? cos x ? 3 cos2 x ? 3

? 3 sin x ? cos x

? 2sin(x ? π) ,…………………………………………………………………………(3 分) 6

由 2sin(x ? π) ? 0 ,得 x ? π ? kπ (k ? Z) ,所以 x ? kπ ? π (k ? Z) ,

6

6

6

所以函数 f (x) 的零点为 x ? kπ ? π (k ? Z) . ……………………………………………………(6 分) 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (?) ? 2sin(? ? π) ? 8 ,所以 sin(? ? π) ? 4 ,………………………………(8 分)

65

65

因为 ?

?(π

,

π)

,所以



?

?

?

π

?



,则

cos(

?

?

π )

? ? 3 ,…………………………………(10 分)

2

3

66

65

所以 cos? ? cos[(? ? π) ? π] ? cos(? ? π)cos π ? sin(? ? π)sin π

66

66

66

??3? 3 ? 4?1 ? 4?3 3 . 5 2 5 2 10

………………………………………………………(12 分)

20.解:(Ⅰ)设等差数列{an} 的公差为

d

,由

an

?

a1

?

(n

?1)d



Sn

?

na1

?

1 2

n(n

?1)d





a5

?

S3

?

9

,得

?a1 ? 4d ? 9, ??3a1 ? 3d ? 9,

解得

a1

?1



d

?

2



所以数列{an} 的通项公式为 an ?1? 2(n ?1) ? 2n ?1 .…………………………………………(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an

?

2n ?1 ,所以 bn

?

2 an an ?1

?

2 (2n ?1)(2n

? 1)

?

1? 2n ?1

1 ,…………(6 2n ?1

分)

(ⅰ) Tn ? b1 ? b2 ?

1 11 11

?

bn

?

(1 ?

) 3

?

( 3

?

) 5

?

( 5

?

) 7

?

?( 1 ? 1 ) 2n ?1 2n ?1

? 1? 1 . …………………………………………………………………………(8 分) 2n ?1

6

(ⅱ)因为 Tn?1

? Tn

?

(1 ?

1) 2n ? 3

?

(1 ?

1) 2n ?1

?

(2n

2 ? 1)(2n

?

3)

?

0,

所以数列{Tn}是递增数列,即 T1 ? T2 ? T3 ? ? Tn ,

所以当 n ?1时, Tn 取得最小值为

2 3

,而 Ti

,

Tj

??

(i

,

j

?1, 2,

, n) , ………………(9 分)

故i

?

j

? 1 时, | Ti

?Tj

| 取得最小值为

4 9



…………………………………………………(10 分)

又 Tn

?1?

1 2n ?1

(n?N? )

,所以 Tn

? 1 ,则 |

Ti

?Tj

|? 1 ,……………………………………(11

分)

因此

4 9

? Ti

?Tj

?1.

…………………………………………………………………………(12 分)

21.解法一:(Ⅰ)由已知, e ? c ? 1 , c ?1,解得 a ? 2 , b ? 3 , a2

从而椭圆 ? 的标准方程为: x2 ? y2 ? 1. …………………………………………………………(3 分) 43

(Ⅱ)由椭圆定义可得:|AF1|

?

2a?|AF2|=4

?

5 2

?

3 2



……………………………………………(4

分)

又 | F1F2 |? 2 ,因此有| AF2 |2 ?| AF1 |2 ? | F1F2 |2 ,即 AF1 ? F1F2 , ……………………………(5 分)

故可得△

AF1F2

的面积为

3 2



……………………………………………………………………(6 分)

(Ⅲ)存在,点 P 的坐标为 ( 4 , ? 15 ) .理由如下: 33

当直线 AB ? y 轴时,与题意不符.

故设直线 AB : x ? ty ?1,

由此可得过点 P 且平行于 AB 的直线为 l : x ? ty ? m ( m ? 1),

∵线段 PF1 的中点在直线 AB 上,

∴点 F1 到直线 AB 的距离等于两平行直线 AB 与 l 之间的距离,

即:| ?1?1| ? | ?m ?1| ,解得 m ? ?1或 m ? 3 . ………………………………………………(9 分) t2 ?1 t2 ?1

由于 m ? ?1时,直线 l : x ? ty ?1过点 F1 ,不符合条件,故舍去.……………………………(10 分)

由此得直线 l 为 x ? ty ? 3 ,并与方程 x2 ? y2 ? 1联立, 43

得到 (3t2 ? 4) y2 ?18ty ?15 ? 0 , …①

…………………………………………………(11 分)
7

由于直线为 l 与椭圆有且只有一个公共点, 故 ? ? (18t)2 ? 4? (3t2 ? 4) ?15 ? 0 ,解得 t ? ? 15 ,
3

此时方程①为 3y2 ? 2 15 y ? 5 ? 0 , y ? ? 15 为点 P 的纵坐标, 3

满足题意的点 P 的坐标为 ( 4 , ? 15 ) . ………………………………………………………(12 分) 33

解法二:(Ⅰ),(Ⅱ)同解法一.

……………………………………(6 分)

(Ⅲ)存在,点 P 的坐标为 ( 4 , ? 15 ) .理由如下: 33

当 AB ? x 轴时,不合题意. 故设直线 AB : y ? k(x ?1) ,过 P 平行于 AB 的直线 l 的方程为: y ? kx ? m ,

由题可知 | ?k ? k | ? | m ? k | ,得 m ? k 或 m ? ?3k , ………………………………………(9 分) 1? k2 k2 ?1

当 m ? k 时,直线 l : y ? kx ? m 过左焦点 F1 ,不合题意,舍去,所以 m ? ?3k ,…………(10 分)

? y ? k(x ? 3),



? ?

x

2

?? 4

?

y2 3

? 1,

消去

y 得: (3 ? 4k 2 )x2

? 24k 2 x ? 36k 2

?12 ? 0 ,…………………………(11

分)

由 ? ? 0 ,得 k 2 ? 3 , 5



P(x0 ,

y0 )

,则 2x0

?

24k 2 3 ? 4k 2

,将 k 2

?

3 5

代入得 2x0

?

8 3

,? x0

?

4 3



于是

y0

?

?

5 3

,? P( 4 3

,?

5) 3

即为所求.

……………………………………………(12 分)

22. 解:(Ⅰ) f ?(x) ? 4 ? 2ax ? b ? 2ax2 ? bx ? 4 ( x ? 0 ),………………………………………(2 分)

x

x

由题意可得:1和 4 分别是 f ?(x) ? 0 的两根,

即1? 4 ? ? b ,1? 4 ? 4 ,解出 a ? 1 , b ? ?5 .

2a

2a

2

∴ f (x) ? 4 ln x ? 1 x2 ? 5x .………………………………………………………………………(4 分) 2

(Ⅱ)由上得 f ?(x) ? 4 ? x ? 5 ? (x ?1)(x ? 4) ( x ? 0 ),

x

x

由 f ?(x) ? 0 ? 0 ? x ?1或 x ? 4 ;

8

由 f ?(x) ? 0 ?1? x ? 4 .

故 f (x) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (4, ??) ,单调递减区间为 (1, 4) ,…………………………(6 分)

从而对于区间 (m, m ? 3)

,有

? 0 ? m, ??m ? 3 ? 1,



? 1 ? m, ??m ? 3 ? 4,



m

?

4,

……………………………(8

分)

解得 m 的取值范围:{1} [4, ??) . …………………………………………………………(9 分)

(Ⅲ)“对于 ?x1 ?[1, e], ?x2 ?[1, e] ,使得 f (x1) ? ?[ f ?(x2 ) ? 5] ? 0 成立”等价于“ ?x2 ?[1, e] ,

使 ?[ f ?(x2 ) ? 5] ? [? f (x1)]min ( x1 ?[1, e] )成立”.

由上可得:

x1

?[1, e] 时,

f

( x1 )

单调递减,故 ?

f

( x1 )

单调递增,∴[?

f

( x1 )]min

?

?

f

(1)

?

9 2



………………………………………………………………………………(11 分)



x2

?[1, e] 时,

f

?(x2 ) ? 5

?

4 x2

?

x2

?

0 且在[1, 2] 上递减,在[2, e] 递增,

∴[ f ?(x2 )]min ? f ?(2) ? 4 , ……………………………………………………………………(12 分)

从而问题转化为“

?x2

?[1, e] ,使

?(x

?

4) x

?

9 2

”,即“ ?x2

?[1, e]

,使

?

?

9 2(x ?

4)

成立”,

x

故?

?[ 9 2(x ?

4) ]max

?

9 2?4

?

9 8



x

∴ ? ? (??, 9) . …………………………………………………………………………………(14 分) 8

9


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