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高三数学(文)一轮复习课件:第二章 第9讲函数模型及应用_图文

第二章 函数、导数及其应用 ? 第9讲 函数模型及应用 ◆高考导航· 顺风启程◆ 最新考纲 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增 长特征,结合具体实例体会直线上升、指 数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使 用的函数模型)的广泛应用. 常见题型 多与二次函数、基 本不等式及导数等 知识交汇,以解答 题为主要形式,解 决实际问题,占12 分左右. [知识梳理] 1.几类常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a、b 为常数,a≠0) k 反比例函数模型 f(x)= +b(k,b 为常数且 k≠0) x 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a, b, c 为常数, b≠0, a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0) 2.三种基本初等函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 单调 递增 上的增减性 增长速度 越来越快 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 单调 递增 单调递增 越来越慢 相对平稳 随 x 的增大,逐 随 n 值变化 随 x 的增大,逐渐表现 图象的变化 渐表现为与 x 轴 而各有不 为与 y 轴 平行 平行 同 值的比较 存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax [知识感悟] 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选 择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下: [知识自测] 1.下列函数中,随x的增大,y的增长速度最快的是( 1 x A.y=100e C.y=x100 [答案] A ) B.y=100 ln x D.y=100· 2x 2.(四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单 位:℃)满足函数关系y=ekx b(e=2.718?为自然对数的底数,k,b + 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时 间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( A.16小时 C.24小时 B.20小时 D.28小时 ) [解析] b ? ?e =192 由题意知? 22k+b ? =48 ?e 33k+b 1 1 11k ,相除得e =4,即e =2. 22k ∴x=33时,y=e [答案] C 1 =48×2=24. 3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是 ________ . [解析] 设矩形的另一边长为y m, x 40-y 则由三角形相似知,40= 40 ,所以y=40-x. 因为xy≥300,所以x(40-x)≥300, 所以x2-40x+300≤0,所以10≤x≤30. [答案] [10,30] 题型一 用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(基础拿 分题、自主练透) 例 1 (2018· 湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜 价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预 测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各 种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示, 在这四种方案中, 运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) [解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点 的切线斜率应该逐渐增大,故选 B. [答案] B 方法感悟 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 1.构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函 数模型,再结合模型选图象. 2.验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题 中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合, 从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【针对补偿】 1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一 段时间, 后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象 是( ) [解析] 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越 来越近,故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变, 故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除 B.故选 C. [答案] C 2.已知正方形 ABCD 的边长为 4,动点 P 从 B 点 开始沿折线 BCDA 向 A 点运动, 设点 P 运动的路程为 x, △ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是( ) [解析] 依题意知当 0≤x≤4 时,f(x)=2x;当 4<x≤8 时,f(x) =8;当 8<x≤12 时,f(x)=24-2x,观察四个选项知,选 D. [答案] D 题型二 应用所给函数模型解决实际问题(重点保分题,共同探讨) 例 2 (2018· 山东实验中学月考 )候鸟每年都要随季节的变化而进 行大规模的迁徙, 研究某种鸟类的专家发现, 该种鸟类的飞行速度 v(单 Q 位: m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog310(其中 a、 b 是实数). 据 统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a、b 的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量 至少要多少个单位? [

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