2012年广东高考第十九题数列题发散研究
【广东高考】第 19 题数列题发散研究 每年都有很多老师对高考题目进行研究总结， 网上关于数列的文章也多如牛毛， 作为过来人， 我也来写一篇关于广东高考数列大题的研究，其他省市的同学也可以参考(注：本文属于基 础性的文章，适合中上水平的学生，即平时考试得 120 分左右的学生) 【2012 广东高考理数， 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， 19】 满足 2Sn ? an ?1 ? 2 且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。 （1）求 a1 的值； （2）求数列 {an } 的通项公式。 （3）证明：对一切正整数 n ，有 【网上解析】 （1） 2Sn ? an ?1 ? 2
n ?1 n ?1
? 1(n ? N * ) ，
1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2
? 1, 2Sn?1 ? an? 2 ? 2n? 2 ? 1 相减得： an ? 2 ? 3an ?1 ? 2n ?1
2S1 ? a2 ? 3 ? a2 ? 2a1 ? 3, a3 ? 3a2 ? 4 ? 6a1 ? 13 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列 ? a1 ? a3 ? 2(a2 ? 5) ? a1 ? 1
* （2） a1 ? 1, a2 ? 5 得 an ?1 ? 3an ? 2 对 ?n ? N 均成立
n
an ?1 ? 3an ? 2n ? an ?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
得 ：
an ? 2 ?
n
?1
?
?1
?
?
?
???
?
?
?
?
3 an
n
2 2
?
（3）当 n ? 1 时，
1 3 ?1? a1 2 3 n 3 2 1 1 n n n ? n 当 n ? 2 时， ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ? 2 2 an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ?? ? ? 1? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1? ? n ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 2
由上式得：对一切正整数 n ，有
1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2
【考点总结】 第（1）问考了两个知识点 i. 对于所有数列 ? an ? 都有 an ? ?
? S n ? S n ?1 , n ? 2 ； ? S1 , n ? 1
ii. 等差中项，若 a,b,c 成等差数列，则 2b=a+c； 第（2）问考了两个知识点 i. 若 an ? qan?1 (n ? 1, q ? 0) ，则 ? an ? 是一个以 q 为公比的等比数列； ii. 构造法求通项公式； 第（3）问也考了两个知识点
i. 放缩法； ii. 分类讨论；
? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? iii. 等比数列求和公式 S n ? ? 1 ? q ； ? na , q ? 1 ? 1
总的来说，这个题目是一个毫无难度，毫无创意的试题，全是数列的基础方法。当然，唯一 值的思考的就是第（3）问的放缩法，即 当 n ? 2 时， ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ?
n 2 n n n
3 2
3 2
1 1 ? n an 2
其实高中数列的求和方法主要有四种： i. 等差数列求和： Sn ? na1 ?
n(n ? 1)d (a1 ? an )n ? 2 2
ii.
? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? 等比数列求和： S n ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1
iii. 错位相减； iv. 裂项相消； 后两种方法下面再详细说明， 不难判断对于本题我们只能从等比数列求和及裂项相消这两种 中抉择（注：裂项相消有个显著的特征就是各项均为分式） ，到此只能试一下，我首先想到 的是 当 n ? 2 时， an ? 3 ? 2 ? 3 ? 2
n n n ?1
? 2n ? 2n?1
这是用肉眼可以看出来的，所以试一试，但结果是
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 2 a1 a2 an 2 2 2
只能小于 2，离
n
3 n ?1 还差一点点，所以我们需要把 an ? 2 这个下限再增大一点，这时就应该 2
能猜测 an ? 2 ，这个可不是用肉眼能看出的，所以需要论证一下，在草纸上用综合分析方 法：
an ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2
n n n n n
n ?1
?3? ?? ? ?2 ?2?
n
显然当 n ? 2 时是成立的，所以就有了本题的解法。 有些同学会问，这里有 2 也有 3，为什么一定要用 2 不用 3，我试了一下，用 3 也是可以的， 还可以用肉眼看出来，如下 当 n ? 2 时， an ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2
n n n n ?1
? 3n ? 2 ? 3n ?1 ? 3n ?1
1 1 1 1 1 3 1 3 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ? n ?1 a1 a2 an 3 3 2 2?3 2
这样看来，貌似用 3 比用 2 顺得多。 现在回头看看第（2）问的构造法求通项公式： 很多同学对于 an ?1 ? 3an ? 2 ? an ?1 ? 2
n n ?1
? 3(an ? 2n )
这一步是怎么想到的比较费解，如
果受过竞赛训练的同学就会知道， 这可以用待定系数法来确定， 前提是当我们知道需要构造 的数列中有
an
，也有
2n ，可以设
an ?1 ? ? ? 2n ?1 ? 3(an ? ? ? 2n )
化简得：
an ?1 ? 3an ? ? ? 2n
与条件比对可知
? ? 1。
an ?1 ? 3an ? 2n ? 2012
，那么该怎么求
如果将题目改为：
an
呢？这时可以设
an ?1 ? ? ? 2n ?1 ? ? ? 3(an ? ? ? 2n ? ? )
化简得：
an ?1 ? 3an ? ? ? 2n ? 2?
与题目比对得 即
? ? 1, ? ? 1006
an ?1 ? 2n ?1 ? 1006 ? 3(an ? 2n ? 1006)
所以
{an ? 2n ? 1006}
是一个等比数列，至此，希望大家可以举一反三，下面还要用到这种
方法。 再看看去年的数列题（这个问题我们重点讨论第一问） ： 【2011 广东高考理数，20】设 b ? 0, 数列 ? an ? 满足 a1 =b, an ? (1)求数列 ? an ? 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数 n, an ? 【网上解析】
nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2
b n ?1 ?1 . 2n ?1
(1)由an ?
nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b n n ?1 1 n 1 1 1 n n ? ? , 则数列{ }是以 ? 为首项, 为公差的等差数列,? ? , 从而an ? 2. an an ?1 2 an a1 2 2 an 2
当b ? 2时,
n 1 2 n ?1 1 当b ? 2时, ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ? n 1 1 1 2 2 ? }是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b
n 1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ,? an ? n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ? bn
(b ? 2) ?2, ? n 综上an ? ? nb (2 ? b) . (b ? 0, b ? 2) ? n n ? 2 ?b
(2)当b=2时,an ? 2,
b n ?1 b n ?1 +1 ? 2,? an ? n ?1 +1,从而原不等式成立; 2n ?1 2 n ?1 b nb n (2 ? b) b n ?1 n(2 ? b) b 1 当b ? 2时,要证an ? n ?1 +1,只需证 n ? n ?1 +1, 即证 n ? n ?1 + n , n n 2 2 ?b 2 2 ?b 2 b n b 1 即证 n ?1 n ? 2 ? n ?1 + n , n ?3 2 n?2 n ?1 2 ? 2 b ? 2 b ? ? ? 2b ? b 2 b n ?1 n?2 n ?3 2 2 2 2 2 1 b b b n ?1 b n 即证n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , b b b b b 2 2 2 2 n ?1 n n?2 n ?1 2 2 b 2 b 2 b 1 b 而上式左边=( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ( ? 2 ) b 2 b 2 b 2 b 2 ?2
2n ?1 b n 2n ? 2 b n ?1 2 b2 1 b ? n ?1 ? 2 n ?1 ? n ? ? ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? n n b 2 b 2 b 2 b 2 ?当b ? 2时, 原不等式也成立, 从而原不等式成立.
还是先总结一下这题的考点吧，因为这个是第 20 题，难度当然比 19 题要上一个层次： 【考点总结】 第（1）问考了三个考点： i. 构造法求通项； ii. 分类讨论； iii. 等比等差数列的概念； （注：这些在上一题也出现过，反反复复考） 第（2）问按以上解法有如下知识点： i. 分类讨论； ii. 不等式的分析综合法； iii. iv. 基本不等式
a?b ? ab 2
等比数列求和公式；
其实我们平时做练习时经常可以看到一种类似且稍微简单的题：
已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?
3an ?1 (n ? 1) ，求 a2012 ； 3 ? 2an ?1
这个大多出在选择题，好像课本中也有，它的解法一般是先求出前 4 项，然后叫你根据规律 猜测其通项公式。实际上，它的解法是取倒数，如下
1 3 ? 2an ?1 1 2 ? ? ? an 3an ?1 an ?1 3
即
1 1 2 ? ? an an ?1 3
所以 ?
?1? 2 ? 是一个以 1 为首项， 为公差的等差数列，所以 3 ? an ?
1 2 ? 1 ? (n ? 1) ? an 3
即
an ?
(1)由an ?
3 2n ? 1
如果你对这个题很熟悉，恭喜你，你应该能做现在这个高考题了，如解答：
nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b n n ?1 1 n 1 1 1 n n ? ? , 则数列{ }是以 ? 为首项, 为公差的等差数列,? ? , 从而an ? 2. an an ?1 2 an a1 2 2 an 2
当b ? 2时,
n 1 2 n ?1 1 当b ? 2时, ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ? n 1 1 1 2 2 ? }是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b
n 1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ,? an ? n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ? bn
(b ? 2) ?2, ? n 综上an ? ? nb (2 ? b) . (b ? 0, b ? 2) ? n ? 2 ? bn
这里当 b ? 2 ，它是一个等差数列，略去不说； 当 b ? 2 时，
n 1 2 n ?1 1 ? ? ( ? ) 这个式子是怎么来的呢？别忘了我们刚说过的待 an 2 ? b b an ?1 2 ? b n 2 n ?1 1 ? ? ? ，我们应该设： an b an ?1 b
定系统法，已知
n 2 n ?1 ?? ? ( ? ?) an b an ?1
化简得：
n 2 n ?1 2 ? b ? ? ? ?? an b an ?1 b
对比条件得
n 1 2 n ?1 1 2?b 1 1 ，这就是 ? ? ( ? ) 的由来。 ? ? ? ，解得 ? ? an 2 ? b b an ?1 2 ? b b b 2?b
当然，这些步骤是在草纸上做的，考试时就直接按解答的样子写就可以，省略中间步骤。 再看 2012 年广州一模理数的一道数列大题： 【2012 年广州一模理数，19】等比数列 ? an ? 的各项均为正数， 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列，且
a3 ? 2a2 2 ．
（1）求数列 ? an ? 的通项公式； （2）设 bn ? 【网上解析】 （1）解：设等比数列 ? an ? 的公比为 q ，依题意，有
2n ? 5 a ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ． ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n
2a4 ? 4a5 ? , ? a3 ? a4 ? 2a5 , ? ? a3 ? 即? 2 ? 2 ? a3 ? 2a2 . ? ? a ? 2a 2 . 3 2 ?
所以 ?
? a1q 2 ? a1q 3 ? 2a1q 4 , ? 2 2 2 ? a1q ? 2a1 q . ?
1 ? ? a1 ? 2 , ? a1 ? 1 , ? ? 由于 a1 ? 0 ， q ? 0 ，解之得 ? 或? 2 ? q ? 1 . ? q ? ?1. ? ? ? 2
又 a1 ? 0, q ? 0 ，所以 a1 ?
1 1 ,q ? ， 2 2
n
?1? * 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ? ? （ n ?N ） ． ?2?
（2）解：由（1） ，得 bn ?
2n ? 5 2n ? 5 1 ? an ? ? n． ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2
所以 bn ? ?
1 ? 1 ? 2 ? ?? n ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? 2
?
1 1 ． ? n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n
所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn
? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ?? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5?2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2
?
1 1 ? ． 3 ? 2n ? 3 ? 2 n 1 1 ? ． 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?
这道题我只想讨论一下第（2）问，大家看答案可以看到，这就是我之前说的求和的第四种 形式：裂项相消。这起源于一个小学奥数题：
1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 2011? 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1 2 2 3 3 4 2011 2012 1 ? 1? 2012 2011 ? 2012
这个奥数题有多种变式，这里不再详细说，只说一种特殊的情况： 已知 ? an ? 是一个以 d 为公差的等差数列，则
1 1 1 1 ? ? ?? ? a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 ? ? ? ? 1? d d d d ? ? ? ?? ? ? ? d ? a1a2 a2 a3 a3a4 an an ?1 ? a ? an ?1 ? 1 ? a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4 ? ? ?? ? n ? ? d ? a1a2 a2 a3 a3a4 an an ?1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? d ? a1 a2 a2 a3 a3 a4 an ?1 an ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an ?
另外加几个习题给大家练习巩固体会： 习题 1.（全国大纲理 20）
1 1 ? ? 1. ?an ? 满足 a1 ? 0 且 1 ? a n?1 1 ? a n 设数列
（Ⅰ）求
?a n ? 的通项公式；
bn ? 1 ? an ?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明：S n ? 1.
k ?1 n
（Ⅱ）设
习题 2． （全国新课标理 17） 已知等比数列 （I）求数列
{an }
的各项均为正数，且
2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6
．
{an }
的通项公式．
1 { } b ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an b （II）设 n ，求数列 n 的前 n 项和．
习题 3． （浙江理 19）
1 {a } a S a 已知公差不为 0 的等差数列 n 的首项 1 为 a（ a ? R ）,设数列的前 n 项和为 n ，且 1 ， 1 1 a2 ， a4 成等比数列
（1）求数列
{an }
的通项公式及
Sn
An ?
（2） 记 与
1 1 1 1 1 1 1 1 Bn ? ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? a1 a2 a22 a2n A S1 S S Sn ， 2 3 ， n ? 2 时， 当 试比较 n
Bn
的大小．
习题 4． （天津理 20）
已知数列
{an }
与
{bn }
满足：
bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2
3 ? (?1) n ? 0, bn ? * 2 ， n ?N ，且
a1 ? 2, a2 ? 4
（Ⅰ）求 （Ⅱ）设
． 的值； ，证明：
a3 , a4 , a5
cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N *
?cn ? 是等比数列；
（III）设
Sk ? a2 ? a4 ? ??? ? a2 k , k ? N ,
*
证明： k ?1
?a
4n
Sk
k
7 ? (n ? N * ) 6 ．
参考答案 习题 1.解：
1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an （I）由题设
1 { } 1 ? an 是公差为 1 的等差数列。 即
1 1 ? 1, 故 ? n. 1 ? a1 1 ? an 又
1 an ? 1 ? . n 所以
（II）由（I）得
bn ? ?
1 ? an ?1 n
,
n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1 ，
Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1 n n
…………8 分
1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1
…………12 分
习题 2.解：
2 a3 ? 9a2 a6
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由
得
3 2 a3 ? 9a4
q2 ?
所以
1 9．
q?
由条件可知 c>0，故
1 3． a1 ? 1 3．
由
2a1 ? 3a2 ? 1
得
2a1 ? 3a2 q ? 1
，所以
1 n 故数列{an}的通项式为 an= 3 ．
（Ⅱ ）
bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2
1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 故 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 2n { } ? b 所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1 1 2 1 1 ) ? ? , {an } a2 a1 a4 习题 3（I）解：设等差数列 的公差为 d，由 (
得
(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d )
因为 d ? 0 ，所以 d ? a 所以
an ? na1 , Sn ?
an(n ? 1) . 2
1 2 1 1 ? ( ? ) Sn a n n ? 1 ，所以 （II）解：因为 An ? 1 1 1 1 2 1 ? ? ?? ? ? (1 ? ) S1 S2 S3 Sn a n ?1
，所以
因为
a2n?1 ? 2n ?1 a
1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). Bn ? ? ? ??? ? ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2
当
0 1 2 n n ? 2时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1
，
1?
即
1 1 ? 1? n , n ?1 2
a ? 0时, An ? Bn ;
所以，当 当
a ? 0时, An ? Bn .
习题 4 （I）解：由
bn ?
3 ? (?1) n , n ? N *, 2
?1, n为奇数 bn ? ? ?2,n为偶数 可得
又
bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0,
当n=1时,a1 +a 2 +2a 3 =0,由a1 =2,a 2 =4,可得a 3 ? ?3; 当n=2时,2a 2 +a 3 +a 4 =0,可得a 4 ? ?5; 当n=3时,a 3 +a 4 +2a 5 =0,可得a 4 ? 4.
（II）证明：对任意 n ? N ,
*
a2 n?1 ? a2 n ? 2a2 n?1 ? 0, 2a2 n ? a2 n?1 ? a2 n? 2 ? 0, a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? 2a2 n ?3 ? 0,
②—③，得
① ② ③ ④ 即
a2 n ? a2 n ?3 .
将④代入①，可得
a2 n?1 ? a2 n?3 ? ?(a2 n?1 ? a2 n?1 )
cn ?1 ? ?cn (n ? N * )
cn ?1 ? ?1, 所以{cn } c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故cn ? 0, cn 又 因此 是等比数列.
（III）证明：由（II）可得
a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? (?1)k
，
* 于是，对任意 k ? N 且k ? 2 ，有
a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
将以上各式相加，得
a1 ? (?1)k a2 k ?1 ? ?(k ? 1),
即
a2 k ?1 ? (?1) k ?1 (k ? 1)
，
此式当 k=1 时也成立.由④式得 从而
a2 k ? (?1)k ?1 (k ? 3).
S2 k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4 k ?2 ? a4 k ) ? ?k ,
S2 k ?1 ? S2 k ? a4 k ? k ? 3.
所以，对任意 n ? N , n ? 2 ，
*
?a
k ?1
n
4n
Sk
k
? ?(
m ?1
n
S4 m ?3 S4 m ?2 S4 m ?1 S4 m ? ? ? ) a4 m?3 a4 m?2 a4 m?1 a4 m
? ?(
m ?1
2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2 3 ? ) 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2)
? ?(
m ?1
n
?
n 2 5 3 ?? ? 2 ? 3 m? 2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)
1 n 5 3 ? ?? ? 3 m? 2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)
1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)
1 5 5 1 3 ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 7 ? . 6
对于 n=1，不等式显然成立. 所以，对任意 n ? N ,
*
S S S1 S2 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n a1 a2 a2 n ?1 a2 n
?(
S S S S S1 S2 ? ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n ?1 ? 2 n ) a1 a2 a3 a4 a2 n ?1 a2 n
1 1 1 2 1 n ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ? n ) 2 4 12 4 4 ? (4 ? 1) 4 (4 ? 1) 1 1 1 2 1 n ? n?( ? )?( 2 ? 2 2 ) ?? ? ( n ? n n ) 4 12 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1)
1 1 1 ? n?( ? ) ? n? . 4 12 3
