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2012年广东高考第十九题数列题发散研究


【广东高考】第 19 题数列题发散研究 每年都有很多老师对高考题目进行研究总结, 网上关于数列的文章也多如牛毛, 作为过来人, 我也来写一篇关于广东高考数列大题的研究,其他省市的同学也可以参考(注:本文属于基 础性的文章,适合中上水平的学生,即平时考试得 120 分左右的学生) 【2012 广东高考理数, 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 19】 满足 2Sn ? an ?1 ? 2 且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。 (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式。 (3)证明:对一切正整数 n ,有 【网上解析】 (1) 2Sn ? an ?1 ? 2
n ?1 n ?1

? 1(n ? N * ) ,

1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2

? 1, 2Sn?1 ? an? 2 ? 2n? 2 ? 1 相减得: an ? 2 ? 3an ?1 ? 2n ?1

2S1 ? a2 ? 3 ? a2 ? 2a1 ? 3, a3 ? 3a2 ? 4 ? 6a1 ? 13 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列 ? a1 ? a3 ? 2(a2 ? 5) ? a1 ? 1
* (2) a1 ? 1, a2 ? 5 得 an ?1 ? 3an ? 2 对 ?n ? N 均成立
n

an ?1 ? 3an ? 2n ? an ?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
得 :

an ? 2 ?
n

?1

?

?1

?

?

?

???

?

?

?

?

3 an

n

2 2

?

(3)当 n ? 1 时,

1 3 ?1? a1 2 3 n 3 2 1 1 n n n ? n 当 n ? 2 时, ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ? 2 2 an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ?? ? ? 1? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1? ? n ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 2
由上式得:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2

【考点总结】 第(1)问考了两个知识点 i. 对于所有数列 ? an ? 都有 an ? ?

? S n ? S n ?1 , n ? 2 ; ? S1 , n ? 1

ii. 等差中项,若 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c; 第(2)问考了两个知识点 i. 若 an ? qan?1 (n ? 1, q ? 0) ,则 ? an ? 是一个以 q 为公比的等比数列; ii. 构造法求通项公式; 第(3)问也考了两个知识点

i. 放缩法; ii. 分类讨论;

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? iii. 等比数列求和公式 S n ? ? 1 ? q ; ? na , q ? 1 ? 1
总的来说,这个题目是一个毫无难度,毫无创意的试题,全是数列的基础方法。当然,唯一 值的思考的就是第(3)问的放缩法,即 当 n ? 2 时, ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ?
n 2 n n n

3 2

3 2

1 1 ? n an 2

其实高中数列的求和方法主要有四种: i. 等差数列求和: Sn ? na1 ?

n(n ? 1)d (a1 ? an )n ? 2 2

ii.

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? 等比数列求和: S n ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

iii. 错位相减; iv. 裂项相消; 后两种方法下面再详细说明, 不难判断对于本题我们只能从等比数列求和及裂项相消这两种 中抉择(注:裂项相消有个显著的特征就是各项均为分式) ,到此只能试一下,我首先想到 的是 当 n ? 2 时, an ? 3 ? 2 ? 3 ? 2
n n n ?1

? 2n ? 2n?1

这是用肉眼可以看出来的,所以试一试,但结果是

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 2 a1 a2 an 2 2 2
只能小于 2,离
n

3 n ?1 还差一点点,所以我们需要把 an ? 2 这个下限再增大一点,这时就应该 2

能猜测 an ? 2 ,这个可不是用肉眼能看出的,所以需要论证一下,在草纸上用综合分析方 法:

an ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2
n n n n n

n ?1

?3? ?? ? ?2 ?2?

n

显然当 n ? 2 时是成立的,所以就有了本题的解法。 有些同学会问,这里有 2 也有 3,为什么一定要用 2 不用 3,我试了一下,用 3 也是可以的, 还可以用肉眼看出来,如下 当 n ? 2 时, an ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2
n n n n ?1

? 3n ? 2 ? 3n ?1 ? 3n ?1

1 1 1 1 1 3 1 3 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ? n ?1 a1 a2 an 3 3 2 2?3 2

这样看来,貌似用 3 比用 2 顺得多。 现在回头看看第(2)问的构造法求通项公式: 很多同学对于 an ?1 ? 3an ? 2 ? an ?1 ? 2
n n ?1

? 3(an ? 2n )

这一步是怎么想到的比较费解,如

果受过竞赛训练的同学就会知道, 这可以用待定系数法来确定, 前提是当我们知道需要构造 的数列中有

an

,也有

2n ,可以设
an ?1 ? ? ? 2n ?1 ? 3(an ? ? ? 2n )

化简得:

an ?1 ? 3an ? ? ? 2n
与条件比对可知

? ? 1。
an ?1 ? 3an ? 2n ? 2012
,那么该怎么求

如果将题目改为:

an

呢?这时可以设

an ?1 ? ? ? 2n ?1 ? ? ? 3(an ? ? ? 2n ? ? )
化简得:

an ?1 ? 3an ? ? ? 2n ? 2?
与题目比对得 即

? ? 1, ? ? 1006

an ?1 ? 2n ?1 ? 1006 ? 3(an ? 2n ? 1006)
所以

{an ? 2n ? 1006}

是一个等比数列,至此,希望大家可以举一反三,下面还要用到这种

方法。 再看看去年的数列题(这个问题我们重点讨论第一问) : 【2011 广东高考理数,20】设 b ? 0, 数列 ? an ? 满足 a1 =b, an ? (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, an ? 【网上解析】

nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 ?1 . 2n ?1

(1)由an ?

nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b n n ?1 1 n 1 1 1 n n ? ? , 则数列{ }是以 ? 为首项, 为公差的等差数列,? ? , 从而an ? 2. an an ?1 2 an a1 2 2 an 2

当b ? 2时,

n 1 2 n ?1 1 当b ? 2时, ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ? n 1 1 1 2 2 ? }是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b

n 1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ,? an ? n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ? bn

(b ? 2) ?2, ? n 综上an ? ? nb (2 ? b) . (b ? 0, b ? 2) ? n n ? 2 ?b

(2)当b=2时,an ? 2,

b n ?1 b n ?1 +1 ? 2,? an ? n ?1 +1,从而原不等式成立; 2n ?1 2 n ?1 b nb n (2 ? b) b n ?1 n(2 ? b) b 1 当b ? 2时,要证an ? n ?1 +1,只需证 n ? n ?1 +1, 即证 n ? n ?1 + n , n n 2 2 ?b 2 2 ?b 2 b n b 1 即证 n ?1 n ? 2 ? n ?1 + n , n ?3 2 n?2 n ?1 2 ? 2 b ? 2 b ? ? ? 2b ? b 2 b n ?1 n?2 n ?3 2 2 2 2 2 1 b b b n ?1 b n 即证n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , b b b b b 2 2 2 2 n ?1 n n?2 n ?1 2 2 b 2 b 2 b 1 b 而上式左边=( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ( ? 2 ) b 2 b 2 b 2 b 2 ?2

2n ?1 b n 2n ? 2 b n ?1 2 b2 1 b ? n ?1 ? 2 n ?1 ? n ? ? ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? n n b 2 b 2 b 2 b 2 ?当b ? 2时, 原不等式也成立, 从而原不等式成立.
还是先总结一下这题的考点吧,因为这个是第 20 题,难度当然比 19 题要上一个层次: 【考点总结】 第(1)问考了三个考点: i. 构造法求通项; ii. 分类讨论; iii. 等比等差数列的概念; (注:这些在上一题也出现过,反反复复考) 第(2)问按以上解法有如下知识点: i. 分类讨论; ii. 不等式的分析综合法; iii. iv. 基本不等式

a?b ? ab 2

等比数列求和公式;

其实我们平时做练习时经常可以看到一种类似且稍微简单的题:

已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?

3an ?1 (n ? 1) ,求 a2012 ; 3 ? 2an ?1

这个大多出在选择题,好像课本中也有,它的解法一般是先求出前 4 项,然后叫你根据规律 猜测其通项公式。实际上,它的解法是取倒数,如下

1 3 ? 2an ?1 1 2 ? ? ? an 3an ?1 an ?1 3


1 1 2 ? ? an an ?1 3
所以 ?

?1? 2 ? 是一个以 1 为首项, 为公差的等差数列,所以 3 ? an ?

1 2 ? 1 ? (n ? 1) ? an 3


an ?
(1)由an ?

3 2n ? 1

如果你对这个题很熟悉,恭喜你,你应该能做现在这个高考题了,如解答:

nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b n n ?1 1 n 1 1 1 n n ? ? , 则数列{ }是以 ? 为首项, 为公差的等差数列,? ? , 从而an ? 2. an an ?1 2 an a1 2 2 an 2

当b ? 2时,

n 1 2 n ?1 1 当b ? 2时, ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ? n 1 1 1 2 2 ? }是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b

n 1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ,? an ? n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ? bn

(b ? 2) ?2, ? n 综上an ? ? nb (2 ? b) . (b ? 0, b ? 2) ? n ? 2 ? bn
这里当 b ? 2 ,它是一个等差数列,略去不说; 当 b ? 2 时,

n 1 2 n ?1 1 ? ? ( ? ) 这个式子是怎么来的呢?别忘了我们刚说过的待 an 2 ? b b an ?1 2 ? b n 2 n ?1 1 ? ? ? ,我们应该设: an b an ?1 b

定系统法,已知

n 2 n ?1 ?? ? ( ? ?) an b an ?1
化简得:

n 2 n ?1 2 ? b ? ? ? ?? an b an ?1 b
对比条件得

n 1 2 n ?1 1 2?b 1 1 ,这就是 ? ? ( ? ) 的由来。 ? ? ? ,解得 ? ? an 2 ? b b an ?1 2 ? b b b 2?b

当然,这些步骤是在草纸上做的,考试时就直接按解答的样子写就可以,省略中间步骤。 再看 2012 年广州一模理数的一道数列大题: 【2012 年广州一模理数,19】等比数列 ? an ? 的各项均为正数, 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且

a3 ? 2a2 2 .
(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 【网上解析】 (1)解:设等比数列 ? an ? 的公比为 q ,依题意,有

2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

2a4 ? 4a5 ? , ? a3 ? a4 ? 2a5 , ? ? a3 ? 即? 2 ? 2 ? a3 ? 2a2 . ? ? a ? 2a 2 . 3 2 ?
所以 ?

? a1q 2 ? a1q 3 ? 2a1q 4 , ? 2 2 2 ? a1q ? 2a1 q . ?

1 ? ? a1 ? 2 , ? a1 ? 1 , ? ? 由于 a1 ? 0 , q ? 0 ,解之得 ? 或? 2 ? q ? 1 . ? q ? ?1. ? ? ? 2
又 a1 ? 0, q ? 0 ,所以 a1 ?

1 1 ,q ? , 2 2
n

?1? * 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ? ? ( n ?N ) . ?2?
(2)解:由(1) ,得 bn ?

2n ? 5 2n ? 5 1 ? an ? ? n. ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2

所以 bn ? ?

1 ? 1 ? 2 ? ?? n ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? 2

?

1 1 . ? n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n

所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ?? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5?2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2

?

1 1 ? . 3 ? 2n ? 3 ? 2 n 1 1 ? . 3 ? 2n ? 3 ? 2 n

故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

这道题我只想讨论一下第(2)问,大家看答案可以看到,这就是我之前说的求和的第四种 形式:裂项相消。这起源于一个小学奥数题:

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 2011? 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1 2 2 3 3 4 2011 2012 1 ? 1? 2012 2011 ? 2012
这个奥数题有多种变式,这里不再详细说,只说一种特殊的情况: 已知 ? an ? 是一个以 d 为公差的等差数列,则

1 1 1 1 ? ? ?? ? a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 ? ? ? ? 1? d d d d ? ? ? ?? ? ? ? d ? a1a2 a2 a3 a3a4 an an ?1 ? a ? an ?1 ? 1 ? a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4 ? ? ?? ? n ? ? d ? a1a2 a2 a3 a3a4 an an ?1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? d ? a1 a2 a2 a3 a3 a4 an ?1 an ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an ?

另外加几个习题给大家练习巩固体会: 习题 1.(全国大纲理 20)

1 1 ? ? 1. ?an ? 满足 a1 ? 0 且 1 ? a n?1 1 ? a n 设数列
(Ⅰ)求

?a n ? 的通项公式;
bn ? 1 ? an ?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1.
k ?1 n

(Ⅱ)设

习题 2. (全国新课标理 17) 已知等比数列 (I)求数列

{an }

的各项均为正数,且

2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6



{an }

的通项公式.

1 { } b ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an b (II)设 n ,求数列 n 的前 n 项和.
习题 3. (浙江理 19)

1 {a } a S a 已知公差不为 0 的等差数列 n 的首项 1 为 a( a ? R ),设数列的前 n 项和为 n ,且 1 , 1 1 a2 , a4 成等比数列
(1)求数列

{an }

的通项公式及

Sn

An ?
(2) 记 与

1 1 1 1 1 1 1 1 Bn ? ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? a1 a2 a22 a2n A S1 S S Sn , 2 3 , n ? 2 时, 当 试比较 n

Bn

的大小.

习题 4. (天津理 20)

已知数列

{an }



{bn }

满足:

bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2

3 ? (?1) n ? 0, bn ? * 2 , n ?N ,且

a1 ? 2, a2 ? 4
(Ⅰ)求 (Ⅱ)设

. 的值; ,证明:

a3 , a4 , a5

cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N *

?cn ? 是等比数列;

(III)设

Sk ? a2 ? a4 ? ??? ? a2 k , k ? N ,
*

证明: k ?1

?a

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) 6 .

参考答案 习题 1.解:

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an (I)由题设

1 { } 1 ? an 是公差为 1 的等差数列。 即
1 1 ? 1, 故 ? n. 1 ? a1 1 ? an 又

1 an ? 1 ? . n 所以
(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,

n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1 ,
Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1 n n

…………8 分

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1

…………12 分

习题 2.解:
2 a3 ? 9a2 a6

(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由



3 2 a3 ? 9a4

q2 ?
所以

1 9.

q?
由条件可知 c>0,故

1 3. a1 ? 1 3.



2a1 ? 3a2 ? 1



2a1 ? 3a2 q ? 1

,所以

1 n 故数列{an}的通项式为 an= 3 .

(Ⅱ )

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 故 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 2n { } ? b 所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1 1 2 1 1 ) ? ? , {an } a2 a1 a4 习题 3(I)解:设等差数列 的公差为 d,由 (


(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d )

因为 d ? 0 ,所以 d ? a 所以

an ? na1 , Sn ?

an(n ? 1) . 2

1 2 1 1 ? ( ? ) Sn a n n ? 1 ,所以 (II)解:因为 An ? 1 1 1 1 2 1 ? ? ?? ? ? (1 ? ) S1 S2 S3 Sn a n ?1
,所以

因为

a2n?1 ? 2n ?1 a

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). Bn ? ? ? ??? ? ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2

0 1 2 n n ? 2时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1



1?


1 1 ? 1? n , n ?1 2
a ? 0时, An ? Bn ;

所以,当 当

a ? 0时, An ? Bn .

习题 4 (I)解:由

bn ?

3 ? (?1) n , n ? N *, 2

?1, n为奇数 bn ? ? ?2,n为偶数 可得


bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0,

当n=1时,a1 +a 2 +2a 3 =0,由a1 =2,a 2 =4,可得a 3 ? ?3; 当n=2时,2a 2 +a 3 +a 4 =0,可得a 4 ? ?5; 当n=3时,a 3 +a 4 +2a 5 =0,可得a 4 ? 4.
(II)证明:对任意 n ? N ,
*

a2 n?1 ? a2 n ? 2a2 n?1 ? 0, 2a2 n ? a2 n?1 ? a2 n? 2 ? 0, a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? 2a2 n ?3 ? 0,
②—③,得

① ② ③ ④ 即

a2 n ? a2 n ?3 .

将④代入①,可得

a2 n?1 ? a2 n?3 ? ?(a2 n?1 ? a2 n?1 )

cn ?1 ? ?cn (n ? N * )

cn ?1 ? ?1, 所以{cn } c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故cn ? 0, cn 又 因此 是等比数列.
(III)证明:由(II)可得

a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? (?1)k



* 于是,对任意 k ? N 且k ? 2 ,有

a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
将以上各式相加,得

a1 ? (?1)k a2 k ?1 ? ?(k ? 1),



a2 k ?1 ? (?1) k ?1 (k ? 1)



此式当 k=1 时也成立.由④式得 从而

a2 k ? (?1)k ?1 (k ? 3).

S2 k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4 k ?2 ? a4 k ) ? ?k ,

S2 k ?1 ? S2 k ? a4 k ? k ? 3.

所以,对任意 n ? N , n ? 2 ,
*

?a
k ?1
n

4n

Sk
k

? ?(
m ?1

n

S4 m ?3 S4 m ?2 S4 m ?1 S4 m ? ? ? ) a4 m?3 a4 m?2 a4 m?1 a4 m

? ?(
m ?1

2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2 m ? 1 2 m ? 3 2 3 ? ) 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2)

? ?(
m ?1

n

?

n 2 5 3 ?? ? 2 ? 3 m? 2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 n 5 3 ? ?? ? 3 m? 2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 5 1 3 ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 7 ? . 6
对于 n=1,不等式显然成立. 所以,对任意 n ? N ,
*

S S S1 S2 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n a1 a2 a2 n ?1 a2 n

?(

S S S S S1 S2 ? ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n ?1 ? 2 n ) a1 a2 a3 a4 a2 n ?1 a2 n

1 1 1 2 1 n ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ? n ) 2 4 12 4 4 ? (4 ? 1) 4 (4 ? 1) 1 1 1 2 1 n ? n?( ? )?( 2 ? 2 2 ) ?? ? ( n ? n n ) 4 12 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1)
1 1 1 ? n?( ? ) ? n? . 4 12 3


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