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高中数学 第一章 数列高考原创题探讨素材 北师大版必修5


陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列高考原创题探讨素材 北师大版必修 5
【原创题探讨】 数 列 【原创精典 1】如图①,②,③,??是由花盆摆成的图案,





③ .

根据图中花盆摆放的规律,猜想第 n 个图形中花盆的盆数 an = 【解析】通过图形的变化寻求规律,以每行盆数为突破口。 【答案】 3n ? 3n ? 1
2

【原创精典 2】 已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足关系式 lg(Sn-1)=n, (n∈N ), 则数列{an} 的通项公式为 .

*

【解析】利用 an=Sn-Sn-1 求通项尤其注意 n=1 时的情况。 【答案】 lg(S n ?1) ? n ?S n ?1 ? 10 n ?S n ? 10 n ? 1, 当 n=1 时,a1=S1=11;当 n≥2 时,an=Sn- Sn-1=1 0 -10
n n-1

=9·10

n-1

.故 an= ?

( n ? 1) ? ?11 n ?1 ? ( n ? 2) ?9 ? 10

【原创精典 3】将自然数 0,1,2,?按照如下形式进行摆列: , 根据以上规律判定,从 2009 到 2011 的箭头方向是 ( )

【解析】利用摆列的规律找到数列通项,从而确定所要箭头方向。 【答案】B 新动向前瞻 【样题 1】计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一” ,如 (1101)2 表

示二进制数,将它转换成十进制形式是 1? 23 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 = 13,那么将二进制 数 ( 1111 ? 1 ) 2 转换成十进制形式是( ? ? ? ? ?
16 个1

). C. 216 ? 1 D. 215 ? 1

A. 217 ? 2

B. 216 ? 2

【解析】 (111 ? 1)2 ? 1? 215 ? 1? 214 ? ?1? 21 ? 1? 20 ? 216 ? 1 ? ? ?
16

【答案】C
1 ? ? 1 1? ? 1 1 1? 1 ? ? 1 1 【样题 2】已知数列:1, ? ?1 ? ? , ?1 ? ? ? , ?1 ? ? ? ? ,?, ?1 ? ? ? ? n?1 ? ,求它 ? 2?

?

2

4?

?

2

4

8?

?

2

4

2

?

的前 n 项的和 Sn. 【解析】考查数列的求和。 【答案】∵ an=1+ + +??+
1 n 1 ? = 2 ? 2? ?1 ? n ? 1 ? 2 ? 1? 2 1?
1 2 1 4 1 2
n ?1

∴an=2-

1 2 n ?1

则原数列可以表示为:
1? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? (2-1), ? ? 2 ? ? , ? 2 ? 2 ? , ? 2 ? 3 ? ,? ? 2 ? n?1 ? ? 2? ? 2 ? ? 2 ?

?

2

? ?

1? 1 ? 1 ? ? ? 前 n 项和 Sn=(2-1)+ ? ? 2 ? ? + ? 2 ? 2 ? +?+? 2 ? n?1 ? ? 2? ? 2 ?

?

2

=2n- ? ?1 ? ?
? 1 2

1 1 ? ? ? ? n?1 ? 2 2 2 ?

1 n 1 ? =2n- 2 =2n-2 ? ?1 ? n ? 1 2 ? ? 1? 2 1?



1 +2n-2 2 n ?1

【样题 3】已知公差大于 0 的等差数列{ 数列,求数列{an}的通项公式 an. 【解析】 【答案】设{ 数列, ∴(
1 2 1 1 )= · a4 a2 a8

1 }满足 a2a4+a4a6+a6a2=1,a2,a4,a8 依次成等比 an

1 1 1 1 }的公差为 d(d>0),由 a2,a4,a8 成等比数列可知 , , 也成等比 an a2 a4 a8

∴(

1 1 1 2 +3d) =( +d)( +7d) a1 a1 a1
2

化简得 d =

d 1 ,∴ =d a1 a1

又 a2a4+a4a6+a6a2=1 化简为
1 1 1 1 + + = a2 a4 a6 a2 a4 a6

∴3· ∴

1 1 1 = · a4 a4 a2a6

1 1 1 1 · =3,即( +d)( +5d)=3 a2 a6 a1 a1
1 2 1 1 = 2 a1

2d·6d=3 ∴d= , ∴

n 1 1 = +(n-1)d= 2 an a1

∴an=

2 n

【样题 4】以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点 Pn(an、an+1)均在一次函数 y=2x+k 的图 象上,数列{bn}满足条件:bn=an+1-an,且 b1≠0. ⑴ 求证:数列{bn}为等比数列. ⑵ 设数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 S6=T4,S5=-9,求 k 的值. 【解析】考查特殊数列的判断及求和公式的灵活运用 【答案】⑴由题意,an+1=2an+k ∴ bn=an+1-an=2an+k-an=an+k bn+1=an+1+k=2an+2k=2bn ∵ b1≠0,∴
bn ?1 =2 bn

∴ {bn}是公比为 2 的等比数列. ⑵ 由⑴知 an=bn-k ∵ bn=b1·2
n-1

∴ Tn=

b1 (1 ? 2n ) ? b1 (2n ? 1) 1? 2

Sn=a1+a2+?+an=(b1+b2+?+bn)-nk =Tn-nk=b1(2 -1)-nk
S6 ? T4 ∵ ? ? ? S5 ? ?9 63b1 ? 6k ? 15b1 ∴ ? ? ? 31b1 ? 5k ? ?9
n

解得:k=8

【样题 5】已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 S n , S4 ? 2S2 ? 4 , bn ? (1)求公差 d 的值; (2)若 a1 ? ? ,求数列 ?bn ? 中的最大项和最小项的值; (3)若对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 成立, 求 a1 的取值范围. 【解析】考查等差数列的综合运用及函数的增减性。 【答案】 (1)∵ S4 ? 2S2 ? 4 ,∴ 4a1 ? 解得 d ? 1 (2)∵ a1 ? ? ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1) ? n ? ∴ bn ? 1 ?

1 ? an . an

5 2

3? 4 d ? 2(2a1 ? d ) ? 4 2
7 2

5 2

1 1 ?1? 7 an n? 2
7? ?7 ? ? 在 ? ??, ? 和 ? , ?? ? 上分别是单调减函数, 7 ? 2? ?2 ? x? 2

∵函数 f ( x) ? 1 ?

1

∴ b3 ? b2 ? b1 ? 1 当 n ? 4 时, 1 ? bn ? b4 ∴数列 ?bn ? 中的最大项是 b4 ? 3 ,最小项是 b3 ? ?1 (2)由 bn ? 1 ?

1 1 得 bn ? 1 ? an n ? a1 ? 1
1 在 ? ??,1 ? a1 ? 和 ?1 ? a1 , ?? ? 上分别是单调减函数, x ? a1 ? 1

又函数 f ( x) ? 1 ?

且 x ? 1 ? a1 时 y ? 1 ; x ? 1 ? a1 时 y ? 1 . ∵对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 ,∴ 7 ? 1 ? a1 ? 8 ∴ ?7 ? a1 ? ?6 ∴ a1 的取值范围是 ( ?7, ?6)


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