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高中数学必修一-2.3幂函数及其性质


2.3幂函数

引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么 她需要支付p=w元,这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数; 3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a=S1/2 这里a是S的函数; 5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均 速度v=t-1 km/s 这里v是t的函数. 以上问题中的函数具有什么共同特征?

新课讲解.
一般地,函数 y ? x 叫做幂函数 ? 是常数. (power function),其中x是自变量,
几点说明:
? ? y ? x 1) 中 x 前面系数是1,并且后面也没有常数项;

一.幂函数的定义

?

2)要确定一个幂函数,需要一个条件就可以,即把常数 ? 确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同:两者都具有幂的形式,但 指数函数的自变量位于指数上,幂函数的自变量是底数.

新课讲解.

二.幂函数的图象及性质

在同一平面直角坐标系内作出 1 ?1 2 y?x, 的图像

y?x

y ? x, y ? x, y ? x3 ,
2

3

y?x

y?x

2

y?x
1 2

y?x

y?x

?1

观察上述图象,将你发现的结论写在P78的表格内

新课讲解.
定义域 值域 奇偶性 单调性 R R 奇 增

y?x

二.幂函数的图象及性质1

y?x y?x
2

3

y?x

2

y?x

?1

R

R R 奇 增

[0, ??) ?x | x ? 0? [0, ??) ? y | y ? 0?
非奇非偶 增 奇

[0, ??) [0, ??)
上增 偶

(0, ??)
上减

(??, 0]

(??, 0)

定点

上减 上减 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)

上图是将a在a ? 1, 0 ? a ? 1,a ? 0中取一个值的图像, 1 1 若取a ? ,a ? 怎样画? 3 2 取a ? ?2,a ? ?3怎样画? 取a ? 3,a ? 2怎样画?

当a ? 1时,x ? (0, 1),y ? x a的图像在y ? x图像的下方, 形状向下凸,a越大,下凸的程度越大 。 当1 ? a ? 0时,x ? (0, 1),y ? x a的图像在y ? x图像的上方, 形状向上凸,a越大,上凸程度越大。

新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质:

1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过 点(1,1); 2)当α >0时,幂函数的图象都通过原点,并且 在[0,+∞)上是增函数.(从左往右看,函数图象逐渐上升)
当a ? 1时,x ? (0, 1),y ? x a的图像在y ? x图像的下方, 形状向下凸,a越大,下凸的程度越大 。 当1 ? a ? 0时,x ? (0, 1),y ? x a的图像在y ? x图像的上方, 形状向上凸,a越大,上凸程度越大。

3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上是减函数. (从左往右看,函数图象逐渐上升) 4)当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数 时,幂函数为偶函数
5)几个幂函数图像在直线 x ?1 的右侧自下而上指数依 次增大

应用举例. 例1.证明幂函数 y ? 增函数.

x 在定义域上是

例2.证明幂函数y=x3 在定义域上是增函数.

应用举例. 例3.比较下列各组数的大小
5 ? 2 5 ? 2

1)3 和3.1
7 ? 8

1 2) ? 8 和 ? ( ) 9 2 2 ? ? 2 3 3 3 3)(? ) 和(? ) 31 4 1

7 8

0.93 和0.82 呢?

应用举例.

例4.如图,幂函数 y ? x (i ? 1,2,3,4,5) 在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ,则 ? i 大小如何排列?

?i

应用举例. 选讲.1)当

? 取不同的有理数时,讨论
?
的定义域.
m2 ?2m?3

幂函数

y?x

(m ? N ) , 2)已知幂函数 y ? x 在区间(0,+∞)上是减函数,求函数的解析式 并讨论其单调性和奇偶性

课堂小结. 1.幂函数的定义

2.5类典型幂函数的图像及性质 3.幂函数的3点性质
4.利用幂函数图像比较数与数的大小 5.掌握幂函数中指数的变化对图像影响

今日作业

1.书本P79 习题2.3 第1-3题 P82复习题 A组第10题


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