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2013高考理科数学二轮2-1-4函数的奇偶性、周期性和单调性


专题一 高考中选择题、

填空题解题能力大突破

考查函数的奇偶性、周期性和单调性
【例9】? (2012· 重 庆 ) 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2

为周期,则“ f(x)为[0,1]上的增函数”是“ f(x)为[3,4]上的
减函数”的 A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 ( ).

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解析

由题意可知函数在[0,1]上是增函数,在[-1,0]上是减函

数,在[3,4]上也是减函数;反之也成立,选D. 答案 D

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【例10】? (2012·上海)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在 区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.

解析

利用复合函数的单调性的判定法则,结合函数图象

求解.因为y=eu 是R上的增函数,所以f(x)在[1,+∞)上 单调递增,只需u=|x-a|在[1,+∞)上单调递增,由函数 图象可知a≤1. 答案 (-∞,1]

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【例11】?

(特例法)(2012· 江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2

?ax+1,-1≤x<0, ? 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= ?bx+2 ? x+1 ,0≤x≤1, ?
?1? ?3? 其中a,b∈R.若f?2?=f?2?,则a+3b的值为________. ? ? ? ?

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解析

因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,所以f

?3? ? ? ?2?



1 ? 1? ?1? ? 1? 2b+2 1 f ?-2? ,且f(-1)=f(1),故f ?2? =f ?-2? ,从而 =- a+ 1 2 ? ? ? ? ? ? 2+1 1,3a+2b=-2.① b+2 由f(-1)=f(1),得-a+1= 2 ,故b=-2a.② 由①②得a=2,b=-4,从而a+3b=-10. 答案 -10
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命题研究:1.函数的奇偶性,一般和含参的函数相结合,涉及

函数的奇偶性的判断,函数图象的对称性,以及与其有关的综
合计算. 2.函数的单调性,一般考查单调性的判定,单调区间的探求、 单调性的应用等.

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[押题 7] 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期 为 3, 当 = A.1 答案: A B.2 C.-1 D.-2
? 3 ? 1 ?- ,0?时, x∈ 2 f(x)=log (1-x), 则 2 ? ?

f(2 011)+f(2 013) ( ).

[由已知得,f(2 011)+f(2 013)=f(670×3+1)+

f(671×3)=f(1)+f(0)=-f(-1)=1.]

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[押题8] 设函数f(x)=(x+1)(x+a)是偶函数,则a=________.

解析 根据偶函数定义,有f(-x)=f(x),
即(-x+1)(-x+a)=(x+1)(x+a). 取特殊值,x=1,则(-1+1)(-1+a)=(1+1)(1+a), 解得a=-1. 答案 -1

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