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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案1.2.2函数的三要素


1.2.2 函数的三要素
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解函数三要素的含义,掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数 的方法. (2)会求简单函数的定义域和函数值. 2.过程与方法 通过示例分析, 让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法, 进一步加深对函数概念的 理解.通过求出函数的函数值,加深对应法则的认识. 3.情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题,提高分析问题,解决问题能力;体会成功地解答数学问题 的学习乐趣,培养钻研精神. (二)教学重点与难点 重点:掌握函数定义域的题型及求法. 难点:理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. (三)教学方法 启发式教学,在老师引导,学生在合作的状态下理解知识、应用知识,提升学生应用知 识和基本技能探究解决问题的能力. (四)教学过程 教学环节 教学内容 1.回顾函数的定义. 2.示例剖析 师生互动 设计意图 1.老师引导学生分析例 1 函数 解析式的结构特征. 结合函数的定 例 1 已知函数 f (x) = x + 3 + 义,感知函数定义域即使解析式有 意义的自变量的取值范围. 1 . x+2 2.分析例 2 的题型特点,结合 (1)求函数的定义域; 函数的定义,阐明确定函数的因素 为定义域和对应法则,并了解值域 2 (2)求 f (–3), f ( ) 的值; 3 由这二要素决定. (3)当 a>0 时,求 f (a),f (a – 例 1 解: 使根式 x + 3 有意义的 1)的值. 实数 x 的集合是{x | x≥–3},使分式 复习回顾 例 2 下列函数中哪个与函数 y 1 有意义的实数 x 的集合是{x | x 范例分析 x+2 = x 相等? 强化概念 ≠–2}. 所以,这个函数的定义域就 (1) y = ( x ) 2 ; 是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2} ={x|x≥–3,且 x≠–2}. (2) y = 3 x 3 ; 1 (2) f (?3) = ?3 + 3 + = –1; (3) y = x 2 ; (4) y =
x . x
2

从回顾概 念入手, 引 入求定义 域的思考 方法及求 定义域的 基本原则.

?3 + 2

2 2 1 11 3 f ( )= +3 + = + 2 3 3 3 8 +2 3

2.函数定义的理解. 由函数的定义可知, 一个函数的构成

= +

3 8

33 . 3

要素为:定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决 定的, 所以, 如果两个函数的定义域 相同, 并且对应关系完全一致, 我们 就称这两个函数相等. 3.区间的概念: (1)不等式 a≤x≤b,用闭区间 [a,b]表示; (2)不等式 a<x<b,用开区间 (a, b)表示; (3)不等式 a≤x<b (或 a<x≤ b)用半开半闭区间[a,b](或(a,b])表 示; (4)x≥a,x>a,x≤b,x<b 分别表示为[a,+∞),(a, +∞),(–∞, b],(–∞, b).

(3) 因为 a>0, 所以 f (a), (a – 1) f 有意义.
f (a) = a + 3 + 1 ; a+2

f (a–1) = a ? 1 + 3 +
1 1 = a+2 + . (a ? 1) + 2 a +1

例 2 解: (1) y = ( x ) 2 = x (x ≥0),这个函数与函数 y = x (x∈R) 虽然对应关系相同,但是定义域不 相同. 所以,这个函数与函数 y = x (x∈R)不相等. (2) y = 3 x3 = x (x∈R),这个函数 与函数 y = x(x∈R)不仅对应关系相 同,而且定义域也相同. 所以,这 个函数与函数 y = x(x∈R)相等. (3) y = x 2 =| x | = ?
? x, x ≥ 0, 这 ? ? x, x < 0.

个函数与函数 y = x(x∈R)的定义域 都是实数集 R,但是当 x<0 时, 它 的对应关系与函数 y = x(x∈R)不相 同. 所以,这个函数与函数 y = x(x ∈R)不相等. (4) y =
x2 的定义域是{x | x≠0}, x

与函数 y = x (x∈R)的对应关系相 同但定义域不相同. 所以,这个函 数与函数 y = x(x∈R)不相等. 学生合作交流完成训练题 1 并 说明解法原理. 1 (1) f ( x) = ; x?2 老师点评学生的解法及总结、 题型. (2) f ( x) = 3x + 2 ; 师生合作小结求定义域的方法 固化定义 及求解步骤. 域的求法 1 (3) f ( x) = x + 1 + . 2? x 训练题 1 解: (1)x – 2≠0,即 及求解原 应用举例 小结:从上例可以看出,求用解 理. 1 x≠2 时, 有意义, x?2 析式 y = f (x)表示的函数的定义域, 常 有以下几种情况: ∴这个函数的定义域是{x | x≠ 强化函数 1.函数的定义域即使函数解析 2}. 值的基本 式有意义的实数集. 求法、 加深 2 (2)3x + 2≥0,即 x≥ ? 时, 3 2.已知函数 y = f (x) 对函数三 (1) f (x)为整式, 若 则定义域为 3 x + 2 有意义,∴函数 y = 3 x + 2 要素含义 训练题 1:求下列函数的定义域.

的定义域是 [? ,+∞). 3 (2) f (x)为分式, 若 则定义域是 ?x +1 ≥ 0 ? x ≥ ?1 使分母不为零的实数的集合; ,∴ ( 3) ? ?? (3) f (x)是偶次根式, 若 那么函 ?2 ? x ≠ 0 ? x ≠ 2 数的定义域是根号内的式子不小于 这个函数的定义域是{x | x≥–1}∩ 零的实数的集合; {x | x≠2} = [–1,2)∪(2,+∞). (4) f (x)是由几个部分的数学 若 注意:函数的定义域常用二种 式子构成的,那么函数的定义域是使 方法表示:集合、区间. 各部分式子都有意义的实数的集合 (即使每个部分有意义的实数的集 合的交集) ; (5)若 f (x)是由实际问题列出 的,那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合实际意义的实数的 集合. 学生自主完成训练题 2,体会 训练题 2: 已知 f (x) = 2x + 3, 求函数值与对应法则之间的关系. (1) 求 f (1),f (a),f (m + n),f [f (x)]. 训练题 2 解: (1)f (1) = 2×1+3=5. 2 (2) ①已知 f (x) = x + 1, f (3x 则 f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3. + 2) = ; f (m + n) = 2×(m + n) + 3 3 = 2 (m+n) + 3. ②已知 f (x) = 2x – 1,则 f (–x) = . f [f (x)] = 2×f (x) + 3 = 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9. (3)已知函数 (2)①9x2 + 12x + 5;②–2x3–1. ? x + 1, ( x > 0) (3) π + 1 ; (4)D. ? f (x) = ?π , ( x = 0) ,
?0, ? ( x < 0)

R.

2

的理解.

则 f {f [f (–1)]} = (4)在函数

.

? x + 2, ( x ≤ ?1) ? f (x) = ? x 2 , (?1 < x < 2) 中,若 ? 2 x, ( x ≥ 2) ?

f (x) = 3,则 x 的值是( A.1


3 2

B.1 或

C.± 3 D. 3 1.求函数定义域的原理:使函 归纳总结 数解析式有意义的自变量取值范围. 师生合作归纳小结 2.求函数值的方法:代入法. 课后作业 1.2 第二课时习案 学生独立完成

训练归纳 概括能力 固化技能

备选例题
例 1 求下列函数的定义域 (1) y = ? x 2 + 1 ;
1 2

(2) y =

x?2 ; x2 ? 4

(3) y =

1 ; x+ | x |

(4) y = x ? 1 + 4 ? x + 2 ;
1 ; | x | ?3

(5) y = 4 ? x 2 +

(6) y = ax ? 3 (a 为常数).

【解析】 (1)x∈R; (2)要使函数有意义,必须使 x2 – 4≠0,得原函数定义域为{x | x∈R 且 x≠±2}; (3)要使函数有意义,必须使 x + |x|≠0,得原函数定义域为{x | x>0}; (4)要使函数有意义,必须使 ?
? x ? 1 ≥ 0, 得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4}; ? 4 ? x ≥ 0,

(5)要使函数有意义,必须使 ?

? 4 ? x 2 ≥ 0, ?| x | ?3 ≠ 0;

得原函数定义域为{x | –2≤x≤2};

(6)要使函数有意义,必须使 ax – 3≥0,得 当 a>0 时,原函数定义域为{x | x≥ 当 a<0 时,原函数定义域为{x | x≤
3 }; a 3 }; a

当 a = 0 时,ax – 3≥0 的解集为 ? ,故原函数定义域为 ? . 例 2 (1)已知函数 f (x)的定义域为(0, 1),求 f (x2)的定义域. (2)已知函数 f (2x + 1)的定义域为(0, 1),求 f (x)的定义域. (3)已知函数 f (x + 1)的定义域为[–2, 3],求 f (2x2 – 2)的定义域. 【解析】 (1)∵f (x)的定义域为(0, 1), ∴要使 f (x2)有意义,须使 0<x2<1,即–1<x<0 或 0<x<1,∴函数 f (x2)的定义域为 {x| –1<x<0 或 0<x<1}. (2) (2x + 1)的定义域为(0, 1), ∵f 即其中的函数自变量 x 的取值范围是 0<x<1, t = 令 2x + 1,∴1<t<3,∴f (t)的定义域为 1<x<3,∴函数 f (x)的定义域为{x | 1<x<3}. (3)∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3, ∴–2≤x≤3. 令 t = x + 1,∴–1≤t≤4, ∴f (t)的定义域为–1≤t≤4. 即 f (x)的定义域为–1≤x≤4,要使 f (2x2 – 2)有意义,须使–1≤2x2 – 2≤4, ∴ ? 3 ≤x≤ ?
2 2 或 ≤x≤ 3 . 2 2 2 2 或 ≤x≤ 3 }. 2 2

函数 f (2x2 – 2)的定义域为{x |– 3 ≤x≤ ?

注意:对于以上(2) (3)中的 f (t)与 f (x)其实质是相同的.


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